导读：2008年全国初中数学竞赛山东赛区 预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题 一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内． 1已知函数y = x2 + 1–
2008年全国初中数学竞赛山东赛区
预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内．
1已知函数y = x2 + 1– x ，点P(x，y)在该函数的图象上 那么，点P(x，y)应在直角坐标平面的 ( )
(A)之一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
2．一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 ( )
(A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2，n = 3
3．我省规定：每年11月的最后一个星期日举行初中数学竞赛，明年举行初中数学竞赛的日期是 ( )
(A)11月26日 (B)11月27日 (C)11月29日 (D)11月30日
4在平面直角坐标系中有两点A(–2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)6个
5．如图，在正三角形ABC的边BC，CA上分别有点E、F，且满足
BE = CF = a，EC = FA = b (a > b ) 当BF平分AE时，则 ab 的值为 （ ）
(A) 5 – 12 (B) 5 – 22 (C) 5 + 12 (D) 5 + 22
6．某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价 分别为8元、5元、3元．那么可能的不同订餐方案有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
7．已知a > 0，b > 0且a (a + 4b ) = 3b (a + 2b ) 则 a + 6ab – 8b2a – 3ab + 2b 的值为 ( )
(A)1 (B)2 (C) 1911 (D) 2
8．如图，在梯形ABCD中，∠D = 90°，M是AB的中点，若
CM = 65，BC + CD + DA = 17，则梯形ABCD的面积为 ( )
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案
直接填写在对应题目中的横线上．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A = 100°，M，N分别是AB和BC
的中点，MP⊥CD于P，则∠NPC的度数为 ．
10．若实数a 满足a3 + a2 – 3a + 2 = 3a – 1a2 – 1a3 ，
则 a + 1a = ．
11．如图，在△ABC中∠BAC = 45°，AD⊥BC于D，若BD = 3，CD
= 2，则S⊿ABC =
12．一次函数 y = – 3 3 x + 1 与 x 轴，y轴分别交于
点A，B．以线段AB为边在之一象限内作正方形ABCD (如
图)．在第二象限内有一点P(a，12 )，满足S△ABP = S正方形ABCD ，
则a = ．
三，解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)
13，如图，点Al，Bl，C1分别在△ABC的边AB，BC，CA上，
且AA1AB = BB1BC = CC1CA = k ( k < 12 )．若△ABC的周长为p，△A1B1C1
的周长为p1，求证：p1 < (1 – k)p
14．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．
15．若a1，a2，…，an均为正整数，且a1 < a2< … < an≤ 2007．为保证这些整数中总存在四个互不相同的数ai，aj，ak，al，使得ai + aj = ak + al = an，那么n的最小值是多少并说明理由．
参考答案：
一． BADDC CBB 二 9 50° 10 2或– 3 11 15 12 3 2 – 8．
三．13 略 14 6位学生 15 略
2006年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1、在直角三角形中，斜边的平方恰等于两条直角边乘积的2倍那么，这个三角形的三边长之比为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、满足不等式 的整数x共有（ ）个
A、9998 B、9999 C、10000 D、10001
3、从 共14个自然数中取出k个数，保证其中有两个数，满足一个是另一个的2倍则k的最小值是（ ）
A、8 B、9 C、10 D、11
4、一个自然数 ，任意取出2个数字，如果左边的数字比右边的数字大，则称这个数有一个逆序用 表示 的逆序的个数（如 ）则 被4除的余数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
5、如图， 是函数 图像上一点，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，作 轴于点 ，交 于点 ，作 轴于点 ，交 于点 则 的值为（ ）
A、2 B、 C、1 D、
二、填空题（每小题7分，共35分）
1、若连续的5个自然数每一个都是合数，则称这一组数为“孪生5合数”那么，在不超过100的自然数 *** 有孪生5合数 组
2、在 中， ， 、 是边 上的两点， ,
则 的面积
3、某人从住地外出有两种方案：一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去 公共汽车的速度比自行车的速度快,但要等候(候车时间可看作固定不变的) ,在任何情况下,他总是选择用时最少的方案下表表示他到达A 、B 、C 三地采用更佳方案所需时间
目的地 离住地距离 更佳方案所需时间
A 2 km 12 min
B 3 km 15．5 min
C 4 km 18 min
为了到达离住地8km的地方,他最少需要 min
4、如图，在长方形 中， ， 为边 上的一个动点，作 于点 , 于点 则
5、有大小一样、张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片小张先用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形,然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形后,又用白色纸片拼下去这样重复拼,当小张用黑色纸片拼过5次以后,黑、白纸片正好用完那么,黑色纸片至少 张
三、（满分15分）
在五角星形 中，相交线段的交点字母如图所示已知
, , ,
求证：
四、（满分15分）
三个互不相同的正整数,如果任何两个的乘积与1的和都恰被第三个数整除,则称这样的三个正整数为“玲珑三数组”
(1) 求证:玲珑三数组中的三个正整数两两互质;
(2) 求出所有的玲珑三数组
五、（满分10分）
如图,在一个△ABC 内部有图4m 个点, 在这些点之间及这些点与A 、B 、C三点之间联结一些线段, 这些线段在三角形内部没有这m个点以外的公共点,并恰将△ABC分成的小区域全部都是小三角形 请你证明:
(1) 分成的小三角形区域的总个数必为奇数;
(2) 位于△ABC 内部的所联结线段的条数是3的倍数。
