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导读：判断函数是否收敛或者发散：收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛,则通常称函数是收敛的。函数在某点收敛,是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值。有界函数指的是对于定义域中的任意一个值,相应的函数值都在一个区间内变化，也
判断函数是否收敛或者发散：
收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛,则通常称函数是收敛的。函数在某点收敛,是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值。有界函数指的是对于定义域中的任意一个值,相应的函数值都在一个区间内变化，也就是函数值的绝对值总小于某一个固定值，那函数就是有界的。
收敛函数一定有界，但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2。
判断数列是否收敛或者发散：
1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。
2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。
3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去
如 1 + 1/n,用1来代替
乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来
如 1/n sin(1/n) 用1/n^2 来代替
4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。
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收敛数列具有的性质：
1、唯一性。如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。
2、有界性。定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
3、保号性。如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。
参考资料：
——收敛性
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y=x R R 奇 (-∞，+∞)增 （1，1）
y=x^2 R [0，+∞） 偶 (-∞,0）减,(0,+∞)增 （1，1）
y=x^3 R R 奇 (-∞，+∞)增 (1,1)
y=x^05 [0,+∞)增 [0,+∞) 非奇非偶 [0,+∞)增 （1,1）
y=x^(-1) {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0）减,(0,+∞)减 (1,1)
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的 *** 被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的 *** 被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小,图像上看从左往右看图像在一直上升或下降的就是单调函数 （或f(x1)<f（x2）则是增函数）
一、有界性
就是y轴上的界限，比如y=sinx，-1<=y<=1，这就是方程的有界性，而且有界性是人为的，可以限定x的取值范围，比如y=tanx，在x∈[-1,1]就是有界的。
判断函数有界性通常采用以下 ***
1、闭区间上的连续函数必定是有界函数。
2、适当放大或缩小有关表达式导出其界。
3利用基本初等函数的图像判断
二、单调性
单调增加
单调减少三、奇偶性
奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。
奇函数图像关于原点对称，而偶函数关于y轴对称。
四、周期性
设函数 f(x) 的周期为 T，则 f(ax+b) 的周期为。f(x)关于直线 x=T 对称的充要条件是：f(x)=f(2T-x)。
扩展资料
1、函数概念有两个基本要素：定义域、对应法则(或称依赖关系)。只有当两个函数的定义域与对应法则完全相同时，才能说它们是同一个函数。
2、根据自变量的个数，可将函数分为：一元函数、多元函数等。
3、根据因变量取值个数，可将函数分为：单值函数、多值函数在高数中，如没有特别说明，处理的都是单值函数。
4、函数的表示法：公式法(显式、隐式、参数式)，列表法，图像法等
-函数
函数的单调性是函数的重要性质之一,对于它的讨论通常有定义法、图象法、复合函数法等。
增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，
例如：
设函数y＝f（x）在上递增,a、b为常数．
（1）若a＞0,则函数b＋af（x）在I上递增；
（2）若a＜0,则函数b＋af（x）在I上递减．
即判断F（X1）-F(X2)（其中X1和X2属于定义域，假设X1<X2)若该式大于零，则在定义域内F(X)为减函数；相反，若该式小于零，则在定义域内函数为增函数。
（要注意的是在定义域内，函数既可能为增函数，也可能为减函数，具体情况要看求出来的x的范围。
扩展资料：
一、函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
1、当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2) 等价于 ；
2、当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2) 。
3、如上图右所示，对于该特殊函数f(x)，我们不说它是增函数或减函数，但我们可以说它在区间 [x1，x2]上具有单调性。
二、运算性质
1、f(x)与f(x)+a具有相同单调性；f(x)与 g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
2、当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
3、两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。
—单调性
函数的单调性是一个局部性的概念，只能针对某一具体的区间而言，也就是说函数在一个点处是不具备单调性的，所以在求函数的单调区间时，可以加等号(或者说包括区间端点)，也可以不加等号(或者说不包括区间端点)。但是，当该函数在区间端点处没有意义，或者区间端点为无穷大时，就不能在包含区间端点了！
例如:
例1、判断函数y=x²-2x的单调性。
解析:见下图
注意:在这道题中该函数在x=1处并不具备单调性，而该函数在x=1处有意义，所以在表述该函数的单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括。但在无穷大处不能包括区间端点。
例2、判断函数y=x²-2x（x＞2）
解析:见下图
注意:由于该函数的定义域为（2，+∞），所以，在表述该函数的单调区间时就不能包括区间端点2了。
在补充两点:
一、在判断函数的单调性时，一定要说明哪个函数在哪个区间上单调性如何。一定要注意这三方面哦。
具体见下图:
二、函数的单调性分为严格单调和非严格单调。不过，现在我们学的都是严格意义上的单调函数。具体见下面例子:
望能帮到你!顺祝进步!
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