三角形ABC中,∠A, ∠B,∠C的对边分别是a,b,c. 当3∠A+4∠B=180度 ,b=2,c=3时, 求a

cba02
三角形ABC中,∠A, ∠B,∠C的对边分别是a,b,c. 当3∠A+4∠B=180度 ,b=2,c=3时, 求a
导读：c=3B在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，当3∠A+4∠B=180▫，c=3, b=2, 那么a = ____________B=2CA解题过程：① 过B点做线段BD，与AC延长线交于D，并使BD = AB② 连接

c=3

B

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，当3∠A+4∠B=180▫，c=3, b=2, 那么a = ____________

B=2

C

A

解题过程：

① 过B点做线段BD，与AC延长线交于D，并使BD = AB

② 连接AD，在AD上截取一点E，连接BE，使BE = DE

设∠A为ɑ，∵ BD = AB，BE = DE，∴ ∠A= ∠D = ∠DBE = ɑ

③ 过B点做线段BF，与AD交于F，并使∠CBF = ∠CBA

设∠CBA为β，则∠CBF = ∠CBA = β，∠ABF= 2β

B

（完成辅助线后见下图）

④ 在∆ABD中，内角和 = 180▫

∴ ∠D+∠DBE+∠EBF+∠ABF+∠A = 180˚

∴ 3ɑ+2β+∠EBF =180˚

∵ 3∠A+4∠B = 180˚，且∠A= ɑ，∠B = β

∴∠EBF = 2β

⑤ 在∆BDF中，∠DBF = ∠DBE+∠EBF = ɑ+2β（见④的结论）

∠BFD = ∠ABF+∠A = 2β+ɑ（外角定理），∴∠DBF =∠BFD

∴ DF = DB = AB = c = 3

⑥ 在AB上截取一点H，使BH = BF，易证∆BFC ≌ ∆BHC，∴BH = BF，

∴∠BCF = ∠BCH，∠BFC = ∠BHC

∵ ∠BCF = ∠ABC+∠A = ɑ+β, ∴∠FCH = ∠BCF+∠BCH = 2∠BCF = 2(ɑ+β)

∵ ∠BFC = ∠D+∠DBE+∠EBF = ɑ+ɑ+2β = 2(ɑ+β)（外角定理和④的结论）

∴ ∠BFC = ∠BHC = ∠FCH = 2(ɑ+β)

∴∠ACH = 180˚-∠FCH = 180˚-∠BHC =∠AHC

∴∆AHC为等腰三角形，AH = AC = b = 2

∴ BH = BF =AB-AH = c-b = 1

⑦ 过B点做BG⊥AD，垂足为G。

∵∆ABD为等腰∆，∴ BG⊥且平分AD，DG = AG = AD/2

设FC的长度为x，AD = DF+FC+AC = c+b+x = 5+x, AG = (5+x)/2

⑧ 在Rt∆ABG中，AB = c = 3, AG = (5+x)/2

∴ BG² = AB²-AG² = 9-(5+x)²/4

⑨ 在Rt∆BGF中，BF = 1（见⑥的结论）

GF = AG-FC-AC = [(5+x)/2]-x-2 = (1-x)/2

BG² =BF²-GF² = 1-[(1-x)²/4]

⑩ 在Rt∆BGC中, BC = a, GC = AG-AC=[(5+x)/2]-2 = (1+x)/2

BG² =BC²-GC² = a² -[(1+x)²/4]

⑪ 对比⑧、⑨可得：9-(5+x)²/4 = 1-[(1-x)²/4]，解方程可得：x = 2/3

⑫ 对比⑨、⑩和可得：a² -[(1+x)²/4] = 1-[(1-x)²/4]，

化简后，a² = 1+x = 5/3，a = √15/3

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